Continuous random variable(2) - exponential, gamma, normal

지난번 포스팅에서는 연속 확률변수와 그 중 하나인 Uniform random variable에 대해서 알아보았다.

 

이번 포스팅에서는 연속 확률변수 중 exponential, gamma, normal random variable에 대해서 작성해보겠다.

 

1. Exponential random variable

어떤 임의의 $\lambda > 0 $에 대해서 아래와 같은 확률 밀도함수(pdf)를 가지는 연속 확률변수를 파라미터가 $ \lambda$인 exponential random variable이라고 한다.

$$ f(x) = \begin{Bmatrix}  \lambda e^{- \lambda x}, \quad & if \; \; x \geq 0 \\  0, \quad &if \; \; x < 0 \end{Bmatrix} $$ Exponential random variable의 누적 밀도 함수는 아래와 같다.

$$F(a) = \int_{0}^{a} \lambda e^{- \lambda x} \, dx = 1 - e^{- \lambda a}, \quad a \geq 0 $$ 한편 $F(\infty) = \int_{0}^{\infty} \lambda e^{- \lambda x} \, dx = 1 $ 또한 만족한다. 

 

Exponential random variable은 매우 중요한 확률변수로 차후에 별도의 포스팅을 다루려고 한다. 

 

2. Gamma random variable

어떤 임의의 $\lambda >0, \alpha >0$에 대해서 아래와 같은 확률 밀도함수(pdf)를 가지는 연속 확률변수를 파라미터가 $\lambda, \alpha$인 gamma random variable이라고 한다. 

$$ f(x) = \begin{Bmatrix} \frac{\lambda e^{ - \lambda x} (\lambda x )^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha)}, & if \; \; x \geq 0 \\ 0, & if \; \; x < 0 \end{Bmatrix} $$ 여기서 $\Gamma (\alpha)$는 gamma function을 의미하며 아래와 같이 정의 된다. 

$$ \Gamma ( \alpha ) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{\alpha -1} \, dx $$

3.  Normal random variable

어떤 임의의 파라미터 $u$와 $\sigma ^2$에 대해서 아래와 같은 확률 밀도함수(pdf)를 가지는 연속 확률변수를 normal random variable이라고 한다.(확률변수가 정규분포되어 있다고 말하기도 한다.)

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-(x-u)^2 / 2 \sigma^2} , \quad \quad - \infty < x < \infty $$

정규분포의 확률 밀도함수는 $u$를 중심으로 대칭(symmetric)이며 대량 아래 그림과 같은 형태를 띈다.

그림출처 : Ross, S. M. (2014).  Introduction to probability models .

 

Normal random variable과 관련된 중요한 사실 중 하나는 확률변수 X가 파라미터 ($u, \; \sigma^2$)인 정규분포를 따른다면,

 

또 다른 확률변수 $ Y= \alpha X + \beta $는 파라미터가 ($\alpha u + \beta, \;  \alpha^2 \sigma^2$)인 정규분포를 따른다는 것이다. 

 

이를 증명하면 아래와 같다. 

 

$\alpha >0$일때, 확률변수 Y의 누적 분포함수는 아래와 같다. 

$$ \begin{align} F_Y (a) &= P\left\{ Y \leq a \right\} \\ \\   &= P\left\{ \alpha X + \beta \leq a \right\} \\ \\ & = P\left\{ X \leq \frac{a- \beta}{\alpha} \right\} \\  \\ &= F_X \left( \frac{a - \beta}{\alpha} \right) \\ \\ & = \int_{- \infty}^{(a - \beta) / \alpha} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-(x-u)^2 / {2 \sigma^2}}\, dx & \quad \quad \cdots \cdots \; (1)\\ \\  &= \int_{- \infty}^{a} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \alpha \sigma} exp \left\{ \frac{-(v-(\alpha u + \beta))^2}{2 \alpha^2 \sigma^2} \right\} \, dv & \quad \quad \cdots \cdots \; (2) \end{align}$$ 부등식 (1)에서 $v = \alpha x + \beta$를 대입해서 바꿔주면 부등식 (2)를 얻을 수 있다.

 

이를 최종 정리하면 아래와 같은 식으로 정리할 수 있다. 

$$ F_Y (a) = \int_{- \infty}^{a} f_Y(v) \, dv = \int_{- \infty}^{a} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \alpha \sigma} exp \left\{ \frac{-(v-(\alpha u + \beta))^2}{2 \alpha^2 \sigma^2} \right\} \, dv $$

즉, 확률변수 Y는 확률 밀도함수가 아래 식과 같으며, 

$$ f_Y(v) = \int_{- \infty}^{a} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \alpha \sigma} exp \left\{ \frac{-(v-(\alpha u + \beta))^2}{2 \alpha^2 \sigma^2} \right\} \, dv $$ 이는 확률변수 Y의 파라미터가 $(\alpha u + \beta, \; (\alpha \sigma)^2)$인 normal random variable임을 알 수 있다.

 

비슷한 방식으로 $a<0$인 경우에도 동일한 결과를 얻을 수 있다. 

 

다음 포스팅에서는 확률변수의 평균(Expectation)에 대해서 작성해보겠다.