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Probability

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Expectation of a random variable 지난번 포스팅에서는 연속 확률변수(Continuous random variable)에 대해서 작성했었다. 이번 포스팅에서는 확률 변수들의 기대값(Expected value)에 대해서 작성하려고 한다. 1. 이산 확률변수의 기대값 만약 확률변수 X가 확률 질량함수 $p(x)$를 가진다면, 이때 확률변수 X의 기대값(Expected value)는 아래와 같다. $$ E(x) = \sum_{x:p(x)>0} xp(x) $$ 몇가지 예제를 통해서 기대값에 대해 알아보자. Q1) 확률변수 X가 모든면이 나올 확률이 동일한 주사위를 1번 던졌을때, 나올 수 있는 수라고 할 때, X의 기대값을 구하시오. Sol1) $p(1) = p(2) = \cdots = p(6) = \frac{1}{6}$이기 때문에 확률변수 X의..
Continuous random variable(2) - exponential, gamma, normal 지난번 포스팅에서는 연속 확률변수와 그 중 하나인 Uniform random variable에 대해서 알아보았다. 이번 포스팅에서는 연속 확률변수 중 exponential, gamma, normal random variable에 대해서 작성해보겠다. 1. Exponential random variable 어떤 임의의 $\lambda > 0 $에 대해서 아래와 같은 확률 밀도함수(pdf)를 가지는 연속 확률변수를 파라미터가 $ \lambda$인 exponential random variable이라고 한다. $$ f(x) = \begin{Bmatrix} \lambda e^{- \lambda x}, \quad & if \; \; x \geq 0 \\ 0, \quad &if \; \; x < 0 \end{Bma..
Continuous random variable 지난 포스팅에서는 이산 확률변수(Discrete random variable)에 대해서 작성했다. 이번 포스팅에서는 셀 수 없는(Uncountable) 확률변수인 연속 확률변수(Continuous random variable)에 대해서 작성해보겠다. 만약 $ x \in (- \infty , \infty)$에서 정의 되는 음이 아닌 함수(Non-negative function) $f(x)$가 어떤 임의의 실수집합 B에 대해 아래와 같은 조건을 만족하면 우리는 확률변수 X를 연속 확률변수(Continuous random variable)이라고 한다. $$ P\left\{X \in B \right\} = \int_{B} f(x)\, dx \quad \quad \cdots \cdots \cdots \quad(1..
Discrete random variable (2) - geometric, poisson 지난번 포스팅에서는 이산 확률변수가 무엇인지, 그리고 이산 확률변수 중 Bernoulli, Binomial random variable에 대해서 알아보았다. 이번 포스팅에는 지난시간에 이어, 이산 확률변수의 일종인 geometric, poisson random variable에 대해서 작성해보겠다. 1. Geometric random variable 성공할 확률이 $p$인 실험이 있고 이러한 실험을 독립적으로 여러번 시행한다고 가정하자. 이때 확률변수 X를 가정에서 설명한 실험을 시행했을 때, 첫번째로 실험이 성공했을때의 실험 횟수라고 한다면 이러한 확률변수를 파라미터가 $p$인 geometric random variable이라고 하며, 확률 질량 함수는 아래와 같다. $$ p(n) = p\left\{ ..
Discrete random variable 지난 포스팅에는 확률변수(random variable)의 정의에 대해서 작성했는데, 이번 포스팅에는 확률변수 중에서도 셀 수 있는(Counting) 확률변수인 이산 확률변수(discrete random variable)에 대해 작성해보겠다. 예를들어, 두개의 주사위를 던졌을때 나온 수의 합이나, 어떤 가게에 방문하는 고객들의 수와 같은 것들은 우리가 직관적으로 셀 수 있는 것(counting)을 알 수 있다. 이러한 확률변수들을 우리는 이산 확률변수라고 한다. 한편, 이러한 이산 확률변수 X에 대해서, X의 확률 질량 함수(probability mass function) $p(a)$를 아래와 같이 정의 한다. $$ p(a) = P\left\{X=a \right\} $$ 확률 질량함수 $p(a)$는 a가 ..
Random Variable 확률을 공부할때 가장 많이 듣는말로 '확률변수'이며, 이번 포스팅에는 확률변수에 대한 내용을 적어보려고 한다. 일단 확률변수는 sample space상에서 각 event를 0과 1사이의 숫자로 대응시키는 일종의 함수라고 생각하면 될 것 같다. 확률변수를 직관적으로 이해하기 위해 아래와 같은 예시를 들어보겠다. 두개의 주사위를 던진다고 했을때, 주사위에 나온 숫자들의 조합을 생각해보자. 그러면 발생할 수 있는 사건은 총 36가지이며 이를 나열 하면 다음과 같다. (첫번째 주사위 수, 두번째 주사위 수) = (1 ,1), (1, 2), (1, 3) ..... (6,5), (6,6) 그리고 위에서 나열 된 사건들의 집합을 sample space 라고 한다. 아무튼 이러한 상황에서 확률변수 X를 두개의 주사위를..

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