Affine and Convex set - Line and line segments

볼록최적화(Convex optimization)을 공부할때 가장 기본적인 개념이 바로 Affine과 Convex set이다.
이를 이해하기 위해 먼저 line과 line segment에 대해 알아보자.

Line은 수학적으로 아래와 같이 표현될 수 있다.

 

$$ y= \theta x_1 + (1-\theta)x^2 \quad s.t \quad x_1 \neq x_2,\quad x_1,x_2 \in R^n,\quad \theta \in R $$

 

위 수식에 따라 θ값이 변하면 점 y의 위치 변한다. 위의 수식을 θ의 변화에 따른 점 y의 위치를 표현하면

아래 그림 1과 같다.

즉, θ가 어떤 임의의 실수이기 때문에, 점 y의 집합은 결국 우리가 아는 직선을 의미하게 된다.

 

그림 1

그리고 θ가 0과 1사이의 값을 갖는 점 y의 집합을 Line segment라고 한다.

 

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출처 : Boyd, S., Boyd, S. P., & Vandenberghe, L. (2004). Convex optimization. Cambridge university press.