Affine and convex sets - Cones

오늘은 Cone에 대해서 공부해보자.

Cone은 광원에서 빛이 나아가는 모양을 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.

Cone의 수리적 정의는 아래와 같다. $$ \text{A set C is called a cone, if for every}\; x \in C \;  \text{and} \; \theta \geq 0\; \text{we have}\; \theta x \in C.  $$ 또한  Convex cone의 수리적 정의는 아래와 같다.
$$ \text{for any}\; x_1,\; x_2 \; \in C \;\text{and} \; \theta_1,\; \theta_2 \geq \; 0, \text{we have} \; \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 \in C $$  Convex cone을 2차원에서 기하학적으로 표현하면 아래 그림과 같다. 

 

Affine, Convex combination과 비슷하게 Conic combination도 정의하는데, 수학적으로 표현하면 아래와 같이 표현된다.
$$ \theta_1 x_1 + \;.\;.\;. + \theta_k x_k\; \text{with} \; \theta_1, \;.\;.\;.\;, \theta_k \geq 0 \; \text{is called a conic combination}$$